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01

不算內(nèi)行的“數(shù)學(xué)家”

大學(xué)里有棵樹，名字叫“高數(shù)”，上面掛了很多人。樹下有座墳，名叫微積分……很多人想起高數(shù)估計還有被支配的恐懼，對于沒有天分的人來講，數(shù)學(xué)就像一個黑洞，無論投入多少能量都會被它吸光。

幾年前，我曾在某乎上回答了一個關(guān)于數(shù)學(xué)的問題，獲得一些贊同之后，儼然成為了一個名不符實的“數(shù)學(xué)家”，像什么磨光函數(shù)、飄帶函數(shù)、歐拉角……各種我連名字都沒聽過的數(shù)學(xué)問題都來邀請我回答。

呃……人家也是個數(shù)學(xué)小白啊，只是用到哪學(xué)到哪。這不，學(xué)習(xí)“管理經(jīng)濟學(xué)”的時候又要用到那棵樹了，溫故知新的同時，來順道祭奠一下微積分吧。

02

一起聊聊：什么是邊際？

我們在日常生活中經(jīng)常聽到有人講“邊際成本”、“邊際收益“這樣的經(jīng)濟學(xué)詞匯，往往左耳朵進右耳朵出，并不知道真正的含義。

未接觸管理經(jīng)濟學(xué)之前，我也一臉問號。什么是邊際？我們平時在生產(chǎn)或生活中只講“成本”、“收益”好像也夠用了啊，經(jīng)濟學(xué)家們?yōu)槭裁匆l(fā)明“邊際”這個詞？

學(xué)習(xí)之后，驚訝地發(fā)現(xiàn)“邊際”是經(jīng)濟學(xué)中極其重要的思考問題的方式。

我們知道管理經(jīng)濟學(xué)是企業(yè)視角的微觀經(jīng)濟學(xué)，其分析問題的出發(fā)點是最優(yōu)化，追求高效率、高收益和高效益。而經(jīng)濟學(xué)分析問題的核心思想就是：增量分析。

也許就是因為需要把聚光燈打在“增量”上，對增量進行定量的分析，才引入“邊際”這個概念吧。從某種意義上來看，“邊際”就是“增量”變化后引發(fā)的變化，即當(dāng)一個因素改變一個單位時，受其影響的另一經(jīng)濟指標(biāo)發(fā)生的變化。

比如邊際成本就是指新增一單位生產(chǎn)商品所帶來的成本增量，而邊際收益則是指增加一單位產(chǎn)品的銷售所增加的收益。

“邊際”這個概念可以應(yīng)用到很多地方，我們來舉個例子。假設(shè)下表是一家工廠生產(chǎn)某種商品雇傭不同數(shù)目的工人所帶來的產(chǎn)量變化。

如表中所示，如果只有一個工人工作，商品的總產(chǎn)量是2個，如果增加一個工人變成2個人，那么由于工人之間可以互補，總產(chǎn)量就可以增加到5個。因為增加這個工人就多生產(chǎn)了3個，那么因為增加這1個工人（單位工人）而引起的產(chǎn)量的變化我們就可以稱之為“邊際產(chǎn)量”。

那么我們?yōu)槭裁匆パ芯窟@個“邊際”問題呢？我們從表中可以看出，對前6名工人來說，邊際產(chǎn)量是隨工人人數(shù)的增加而增加的。但再增加工人，邊際產(chǎn)量就會遞減。到第10名工人時甚至?xí)箍偖a(chǎn)量下降，邊際產(chǎn)量已經(jīng)小于0變?yōu)樨?fù)值，說明該廠的工人已經(jīng)太多，也許工人之間已經(jīng)互相妨礙，說明此時雇傭10名工人已經(jīng)無法促進反而阻礙了高效率的生產(chǎn)。

一圖勝千言，我們把上表中的數(shù)值畫在坐標(biāo)軸里，然后連接起來就形成了三條函數(shù)曲線，分別對總產(chǎn)量、平均產(chǎn)量和邊際產(chǎn)量進行函數(shù)示意。

那么了解邊際這一概念的意義就顯現(xiàn)出來了，我們可以看出當(dāng)邊際產(chǎn)量為正值時，總產(chǎn)量呈現(xiàn)為上升趨勢，當(dāng)邊際產(chǎn)量為負(fù)值時，總產(chǎn)量一定呈下降趨勢，而當(dāng)邊際產(chǎn)量的值為零時，總產(chǎn)量最大。

那這個和導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系呢？我們用腳都知道平均產(chǎn)量(AP)等于總產(chǎn)量除以工人人數(shù)，然而其在函數(shù)圖像上是總產(chǎn)量函數(shù)上相應(yīng)點與原點連線的斜率（斜率，表示一條直線相對于橫坐標(biāo)軸的傾斜程度。一條直線與某平面直角坐標(biāo)系橫坐標(biāo)軸正半軸方向的夾角的正切值即該直線相對于該坐標(biāo)系的斜率）。

以6個工人為例，平均產(chǎn)量是6.7個，6個人對應(yīng)的總產(chǎn)量是總產(chǎn)量曲線上的B點，直線OB的斜率為6.7。7個工人時，平均產(chǎn)量為8.1個，對應(yīng)總產(chǎn)量曲線上的A點，直線OA的斜率為8.1。最為重要的關(guān)系是，邊際產(chǎn)量函數(shù)的值等于總產(chǎn)量函數(shù)相應(yīng)點的切線的斜率。

7個工人工作時，其邊際產(chǎn)量為17個，在函數(shù)示意圖中即為總產(chǎn)量函數(shù)上點A的切線的斜率。“當(dāng)當(dāng)當(dāng)~當(dāng)~"，如果對高數(shù)還有那么點印象的話，有沒有似曾相識的感覺？是的，主角終于出現(xiàn)了！是它是它就是它，函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)就是該函數(shù)所代表的曲線在這一點上的切線斜率。

在數(shù)學(xué)中，函數(shù)是分析世上萬事萬物“變化”的方法，而導(dǎo)數(shù)正是用來分析函數(shù)“變化”的工具。導(dǎo)數(shù)和微分都是從微觀上研究函數(shù)，描述物質(zhì)運動的工具。只不過導(dǎo)數(shù)描述的是函數(shù)變化的快慢，而微分描述的是函數(shù)變化的程度。

導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)是函數(shù)增量與自變量增量之比的極限，其幾何意義為函數(shù)上點切線的斜率，而這就是我們剛剛所討論“邊際”概念的過程。

當(dāng)我們粗略地知道“邊際”的數(shù)學(xué)模型就是“導(dǎo)數(shù)”后，所有與邊際相關(guān)的問題，都可以利用這一數(shù)學(xué)工具進行研究和解決。

有人說導(dǎo)數(shù)是“開啟物理學(xué)的敲門磚”，足見其有多么的重要。其實不僅在物理學(xué)中，在很多領(lǐng)域它都是不可或缺的工具。

求導(dǎo)可以讓我們知道曲線上某點的斜率，因此就比較容易推測出之后曲線的傾斜情況或走勢。

在金融領(lǐng)域里，如果能巧妙地運用這一方法，就能預(yù)測未來的動向，比如股價的漲跌趨勢。

而在計算機領(lǐng)域的應(yīng)用大家就更為熟悉了，許多女孩子拍照時喜歡用的美顏，以及我們經(jīng)常使用的PS等圖像處理軟件，導(dǎo)數(shù)就是在圖像處理過程中用來查找邊緣以及摳圖的重要算法原理。

那么在經(jīng)濟學(xué)中，進行增量分析時，就可以用導(dǎo)數(shù)分析實際問題的動態(tài)變化，進而進行管理決策。比如使用邊際成本來研究成本變化規(guī)律，配合邊際收入就可以計算出邊際利潤，在決策時根據(jù)邊際利潤是否大于0來決定方案是否可行。

參考資料：

《管理經(jīng)濟學(xué)》（第4版修訂版），【美】H·克雷格·彼得森（H. CraigPetersen）W·克里斯·劉易斯（W. Cris Lewis）著，吳德慶譯校，中國人民大學(xué)出版社

《7天搞定微積分》，【日】石山平大上丈彥著，李巧麗譯。文中最后截圖來源于本書

《高等數(shù)學(xué)》（第五版），同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編，高等教育出版社

（以上內(nèi)容僅代表作者本人觀點）

文/MBA 2105班 魏曉磊

責(zé)編/宣傳部 桑玉嬌

主編/孫遜審核/沈家桓

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