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2015級(jí)張雷生

猶記得結(jié)課之后，柏滿(mǎn)迎老師對(duì)我們說(shuō)了一句語(yǔ)重心長(zhǎng)的話(huà)：“我知道統(tǒng)計(jì)學(xué)起來(lái)很吃力，但等你們學(xué)完了，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)它真的很有用?！蔽蚁雽?duì)老師說(shuō)：我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了。它不但很有用，而且很有趣。這確實(shí)是我學(xué)完這門(mén)課的真實(shí)感悟。作為柏老師的課代表，我斗膽擷取統(tǒng)計(jì)學(xué)里的一個(gè)最基礎(chǔ)的知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)自編的一個(gè)小故事，以通俗化的形式呈現(xiàn)其本質(zhì)，既以此來(lái)表示自己在學(xué)習(xí)上的一點(diǎn)收獲，同時(shí)也表示對(duì)柏老師把我們帶到這門(mén)實(shí)用性與趣味性完美結(jié)合的課程里來(lái)的感謝。

我們學(xué)的統(tǒng)計(jì)，分為兩大部分：描述統(tǒng)計(jì)和推斷統(tǒng)計(jì)。前者比例小，后者比例大。前者容易，后者難。前者稍微具備數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的人都能學(xué)，學(xué)完了以后，做出來(lái)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，稍微有點(diǎn)文化的人都能看明白。后者對(duì)學(xué)的人有要求，對(duì)看的人也有要求。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差的，不容易學(xué)，文化低的，不容易看。如果說(shuō)前者是下里巴人，那后者無(wú)疑是陽(yáng)春白雪。

描述統(tǒng)計(jì)和推斷統(tǒng)計(jì)的最本質(zhì)的區(qū)別，就在于它們是分析已知的數(shù)據(jù)還是未知的數(shù)據(jù)。何為已知？就是已經(jīng)得到的、實(shí)實(shí)在在擺在那里的數(shù)據(jù)。那為什么要分析呢？因?yàn)閿?shù)據(jù)雖然已經(jīng)有了，但雜亂無(wú)章，直接拿給別人看，別人會(huì)覺(jué)得很費(fèi)勁。于是需要你去描述它們，描述得清楚些、明白些，讓別人看了一目了然，這就叫描述統(tǒng)計(jì)。你可以有很多種方法來(lái)做這件事，這就是我們學(xué)的描述統(tǒng)計(jì)的各種方法。比如，最最簡(jiǎn)單也是最最常見(jiàn)的方法，就是平均數(shù)。

為什么要用平均數(shù)呢？打個(gè)比方，你向老板匯報(bào)去年的銷(xiāo)售數(shù)字，你手上一共有去年12月的數(shù)字，那你是不是可以把這12個(gè)數(shù)字都念一遍給老板聽(tīng)呢？當(dāng)然可以啦，假如你希望被老板趕出來(lái)的話(huà)。為什么被趕出來(lái)？因?yàn)槔习逍枰氖且荒苛巳坏膮R報(bào)，而你沒(méi)做到。怎么做到？很簡(jiǎn)單，你只需要告訴他3個(gè)數(shù)：去年一年的總銷(xiāo)量，去年每個(gè)月的平均銷(xiāo)量，以及和前年相比的增長(zhǎng)幅度。這就叫一目了然。平均數(shù)的作用，就是隱去了12個(gè)數(shù)字，而代之以一個(gè)新的數(shù)字，或者說(shuō)，用1個(gè)數(shù)來(lái)代表或者叫概括12個(gè)數(shù)。

但平均數(shù)有沒(méi)有缺陷呢？當(dāng)然有。下面這個(gè)故事就叫“坑爹的平均數(shù)”。

有兩個(gè)老板，各開(kāi)了一家商城，同一天剪彩。為了博眼球，兩個(gè)老板都想找5個(gè)美女來(lái)做模特。他們叫自己的兒子找模特公司簽合同雇人。老板甲的兒子比較靠譜，在合同里寫(xiě)清楚了，5個(gè)女模身高都要求1.75米，最后人家忠實(shí)履行合同，人找來(lái)了，完全符合要求。但老板乙那出問(wèn)題了。他兒子簽的合同寫(xiě)的是5個(gè)女模平均身高都要求1.75米。結(jié)果人家給找了5個(gè)女孩，但老板一看，鼻子差點(diǎn)氣歪了。因?yàn)檫@5個(gè)人身高分別是155、160、180、185、195厘米，站在一塊，高的太高，矮的太矮，實(shí)在是不忍直視。老板一生氣，拒付費(fèi)用?？赡Ｌ毓菊f(shuō)了：你兒子跟我們簽的合同上只說(shuō)平均身高是175厘米，我找的這5個(gè)人平均身高就是1.75米，完全符合你的要求，該付的錢(qián)一分都不能少！老板沒(méi)轍，含著淚把錢(qián)付了。平均數(shù)坑爹?。?/p>

有人說(shuō)那我如果把所有數(shù)字都念給老板聽(tīng)不就可以避免這個(gè)問(wèn)題了嗎？可以是可以。但問(wèn)題是你念5個(gè)數(shù)可以，要是500、5000、50000個(gè)數(shù)怎么念？不還是得用平均數(shù)？可平均數(shù)又有問(wèn)題。那問(wèn)題到底在哪呢？就在于總體的數(shù)據(jù)很可能是參差不齊的。也就是說(shuō)，當(dāng)你用平均數(shù)描述了一組數(shù)據(jù)，還不夠，因?yàn)槠骄鶖?shù)不能反映出所有數(shù)據(jù)是否參差不齊，以及參差不齊的程度有多大。我們用專(zhuān)業(yè)的術(shù)語(yǔ)把這種參差不齊叫做數(shù)據(jù)的變異程度，或者離散程度。除了平均數(shù)，我們還需要把離散程度描述出來(lái)。我們用來(lái)描述離散程度的數(shù)有兩個(gè)，分別叫方差和標(biāo)準(zhǔn)差。

方差，就是把每個(gè)數(shù)都和平均數(shù)做個(gè)減法，得到的結(jié)果，代表每個(gè)數(shù)和平均數(shù)的距離。假設(shè)全部數(shù)字一共有500個(gè)，那我們就可以得到500個(gè)距離。我們當(dāng)然不能把這500個(gè)距離又羅列一遍。我們需要把這500個(gè)距離分別平方，加起來(lái)，再算一個(gè)平均數(shù)出來(lái)。這個(gè)數(shù)就叫方差，我們就用它來(lái)描述那500個(gè)數(shù)的離散程度。于是，假設(shè)有兩組數(shù)，每一組都包含了500個(gè)數(shù)，平均數(shù)都一樣，我們就可以看方差一樣不一樣。方差大的那組數(shù)，說(shuō)明它的離散程度大。方差小的，離散程度小。比如前面那兩組女模，平均數(shù)一樣，但甲組方差為0，乙組方差是230，如果不讓你看到真人，光憑方差，你就完全可以判斷出哪一組是高矮懸殊了。

標(biāo)準(zhǔn)差，就是方差的算數(shù)平方根。為什么要開(kāi)方呢？因?yàn)榉讲畹膯挝皇瞧椒?，開(kāi)方后單位就變得和數(shù)據(jù)一樣了，那這樣就可以用來(lái)衡量平均數(shù)的變異程度了。比如230開(kāi)方是15.2厘米，那這個(gè)數(shù)有什么用呢？用處可大了。這個(gè)數(shù)的意思是，這組女模特的身高，雖然平均是175厘米，但就總體而言，每個(gè)人的身高分布在平均身高上下15厘米左右，也就是大致在160厘米到190厘米的范圍內(nèi)波動(dòng)。我們?cè)賮?lái)看看那5個(gè)數(shù)：155、160、180、185、195，其中有4個(gè)數(shù)，即80%的數(shù)確實(shí)在上述范圍內(nèi)。所以，有了標(biāo)準(zhǔn)差，你就可以很方便地判斷出大部分乃至絕大部分的數(shù)據(jù)大致在以平均數(shù)為中心的多少個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)。

現(xiàn)在，如果你理解了方差和標(biāo)準(zhǔn)差這兩個(gè)數(shù)的內(nèi)涵，那你就已經(jīng)具備區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的基礎(chǔ)啦！