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各向異性介質(zhì)Eshelby猜想的證明

北京大學(xué)工學(xué)院
2021-10-15 08:52 瀏覽量: 4153
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近日，北京大學(xué)工學(xué)院力學(xué)與工程科學(xué)系王建祥教授課題組與南方科技大學(xué)黃克服教授合作，在Eshelby猜想的研究上取得重要進(jìn)展。該項(xiàng)研究以“Solutions to thegeneralized Eshe...

近日，北京大學(xué)工學(xué)院力學(xué)與工程科學(xué)系王建祥教授課題組與南方科技大學(xué)黃克服教授合作，在Eshelby猜想的研究上取得重要進(jìn)展。該項(xiàng)研究以“Solutions to thegeneralized Eshelby conjecture for anisotropic media: Proofs of the weakversion and counter-examples to the high-order and the strong versions”為題在線發(fā)表于國際固體力學(xué)旗艦期刊《Journal of the Mechanics and Physics of Solids》（https://authors.elsevier.com/a/1dvLo57Zjzi9~）。1957年，英國學(xué)者Eshelby求解了各向同性無限大介質(zhì)中經(jīng)受均勻本征應(yīng)變場的橢球夾雜內(nèi)部的彈性場，發(fā)現(xiàn)橢球內(nèi)部彈性應(yīng)變場也是均勻的，均勻本征應(yīng)變與彈性應(yīng)變之間可以通過一個(gè)四階張量（現(xiàn)今稱為Eshelby張量）相聯(lián)系，基于此，Eshelby提出了等效本征應(yīng)變的概念以及等效夾雜方法。這些被國際力學(xué)界公認(rèn)為優(yōu)雅的、意義深遠(yuǎn)的成果開啟了固體力學(xué)發(fā)展的一個(gè)新時(shí)代，以該解為基礎(chǔ)構(gòu)成的經(jīng)典Eshelby體系成為自20世紀(jì)下半葉至今蓬勃發(fā)展的復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)的基石，為復(fù)合材料力學(xué)性質(zhì)的預(yù)測提供了有效途徑，極大地推進(jìn)了復(fù)合材料理論的發(fā)展和應(yīng)用。Eshelby于1957年發(fā)表的論文至今保持著整個(gè)力學(xué)領(lǐng)域最高的引用次數(shù)，是當(dāng)代力學(xué)領(lǐng)域最重要的奠基性文獻(xiàn)之一。Eshelby在1961年猜測，橢球是唯一一種將均勻本征應(yīng)變變換為均勻彈性應(yīng)變的夾雜構(gòu)型。這一猜測可以嚴(yán)格地劃分為對所有均勻本征應(yīng)變成立的弱猜想，以及對單個(gè)均勻本征應(yīng)變成立的強(qiáng)猜想。Eshelby猜想的解答不僅對復(fù)合材料理論的發(fā)展有重要意義，也是應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)基礎(chǔ)問題。幾十年間，國內(nèi)外許多力學(xué)家、數(shù)學(xué)家投身于Eshelby猜想及相關(guān)問題的研究。直到2008年，韓國國立大學(xué)數(shù)學(xué)系的H. Kang（現(xiàn)Inha大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所所長、韓國科學(xué)技術(shù)學(xué)院院士）和美國猶他大學(xué)數(shù)學(xué)系的G. W. Milton教授（美國工程科學(xué)協(xié)會(huì)最高獎(jiǎng)William Prager獎(jiǎng)獲得者），以及當(dāng)時(shí)在加州理工學(xué)院工作的Liping Liu（北大力學(xué)系校友，現(xiàn)為美國羅格斯大學(xué)數(shù)學(xué)系、機(jī)械和航空系教授）分別證明：對于各向同性介質(zhì)，Eshelby弱猜想成立，Liu還針對某類各向同性四階張量條件下的強(qiáng)猜想給出了反例；2009年，北京大學(xué)力學(xué)系王敏中教授和學(xué)生胥柏香（現(xiàn)德國達(dá)姆施塔特工業(yè)大學(xué)教授）、趙穎濤（現(xiàn)北京理工大學(xué)副教授），以及德國學(xué)者D. Gross完成了二維各向異性介質(zhì)中Eshelby強(qiáng)猜想的證明；2010年，法國數(shù)學(xué)研究所的H. Ammari（現(xiàn)為 ETH數(shù)學(xué)系教授，歐洲科學(xué)院院士）和G. W. Milton等部分證明了各向同性介質(zhì)的強(qiáng)猜想。更具一般性的三維空間中各向異性介質(zhì)的Eshelby猜想一直懸而未決。該項(xiàng)研究以本征應(yīng)變與各向異性彈性張量的笛氏乘積為變量，構(gòu)造了Eshelby弱猜想和強(qiáng)猜想的數(shù)學(xué)表示，繼而證明了，對于具有非退化立方對稱性、橫觀各向同性、正交各向異性、單斜對稱性的四種各向異性介質(zhì)，Eshelby弱猜想成立；但是，其相應(yīng)的強(qiáng)猜想存在反例，并且給出了構(gòu)造非橢球構(gòu)型反例的充分條件。此外，針對這四種各向異性介質(zhì)中多項(xiàng)式形式本征應(yīng)變的情況，證明了，存在非橢球構(gòu)型的夾雜滿足所謂的Eshelby多項(xiàng)式守恒定理，即將多項(xiàng)式本征應(yīng)變轉(zhuǎn)換為同階多項(xiàng)式彈性應(yīng)變。該項(xiàng)研究表明，除了經(jīng)典的橢球構(gòu)型的夾雜之外，在以上每一種各向異性介質(zhì)中，都存在無窮多種非橢球構(gòu)型的夾雜對特定形式的本征應(yīng)變具有Eshelby均勻性和多項(xiàng)式守恒性，從而極大地拓展了對Eshelby均勻性和多項(xiàng)式守恒性的認(rèn)知范疇。各向異性非均質(zhì)材料普遍存在于自然界和工業(yè)領(lǐng)域，各向異性介質(zhì)Eshelby體系的研究為多相材料中應(yīng)變調(diào)控及性能優(yōu)化提供了新的維度，對于分析和設(shè)計(jì)量子點(diǎn)結(jié)構(gòu)的應(yīng)變場從而調(diào)控其能帶結(jié)構(gòu)和糾纏光子的性能具有理論指導(dǎo)意義。固體力學(xué)專家魏悅廣院士表示：Eshelby猜想是力學(xué)領(lǐng)域非常重要的基本問題，其解決具有重要的理論價(jià)值。很高興看到王建祥教授、黃克服教授和學(xué)生經(jīng)過多年的研究，解決了幾種具有實(shí)際應(yīng)用背景的各向異性介質(zhì)的Eshelby猜想問題。該論文的第一作者袁天宇同學(xué)2015年本科畢業(yè)于上海大學(xué)力學(xué)系，同年進(jìn)入北京大學(xué)工學(xué)院力學(xué)與工程科學(xué)系攻讀博士學(xué)位，在王建祥教授和黃克服教授指導(dǎo)下進(jìn)行Eshelby猜想的研究。論文工作得到國家自然科學(xué)基金委員會(huì)創(chuàng)新研究群體基金以及重大項(xiàng)目基金的資助。

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